home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ Pro One: Differential Equations / Multimedia Differential Equations.ISO / diff / chapter3.1p < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1996-08-13  |  9.4 KB  |  446 lines
  1. à 3.1èBasic Defïitions for Second Order Differential Equations
  2.  
  3. äèèDetermïe if ê followïg differential equation is
  4. èèèèèèèèlïear or non-lïear.
  5.  
  6. â        y»» + xy» + e╣y = cosh[x] is lïear.
  7.  
  8.         y»» + [y»]║ + tan[y] = 0èis non-lïear.
  9.  
  10. éS        If a differential equation can be written ï ê form    
  11.  
  12.     a╠(x)yÑⁿª + a¬(x)yÑⁿúî) + ∙∙∙ + a┬▀¬(x)y» + a┬(x)yè=èg(x),
  13.  
  14.     it is a LINEAR differential equation.èIf it cannot be written
  15.     ï this form, ên it is a NON-LINEAR differential equation.
  16.  
  17.     For example
  18.     1)    7y»» + x║y» + eú╣y = cot[x] is lïear as ê coeffi-
  19.         cients ç ê derivatives are functions ç x alone å 
  20.         no derivative is raised ë any power.
  21.  
  22.     2)    y»» - [y»]Ä + cosh[y] = e╣èis non-lïear for two rea-
  23.         sons.èFirst, ê first derivative is raised ë ê 
  24.         third power å second, y is ê argument ç ê hyper-
  25.         bolic cosïe function.
  26.  
  27.     For differential equations ç ê second order, non-lïear 
  28.     differential equations are quite difficult ë solve å will
  29.     not be discussed ï ê sçtware.
  30.  
  31.  1    y»»è+èxy»è+èsecì[x]yè=èeúÄ╣
  32.  
  33.  
  34.  
  35.         A)    Lïear        B)    Non-lïear
  36.  
  37. ü    The coefficients ç ê derivatives are functions ç x å ê
  38.     derivatives are not raised ë any power.èThe right hå side
  39.     is a function ç x alone.èThus, this is a lïear differential 
  40.     equation.
  41.  
  42. Ç    A
  43.  2    y»»è+èyy»è+èsec║[x]yè=èeúÄ╣
  44.  
  45.  
  46.  
  47.         A)     Lïear        B)è    Non-lïear
  48.  
  49. ü    The second term yy» is not ç ê required form å hence this
  50.     is a non-lïear differential equation.
  51.  
  52. Ç    B
  53.  3    xìy»»è-è3xy»è+èsï[x]yè=ècosh[3x]
  54.  
  55.  
  56.  
  57.         A)    Lïear        B)    Non-lïear
  58.  
  59. ü    The coefficients ç ê derivatives are functions ç x å ê
  60.     derivatives are not raised ë any power.èThe right hå side
  61.     is a function ç x alone.èThus, this is a lïear differential 
  62.     equation.
  63.  
  64. Ç    A
  65. äè Determïe if ê followïg differential equations ç
  66. èèèèèèè ê second order have constant coefficients.
  67. â    è
  68.     1)    4y»»è-è15y»è-è4yè=èeÄ╣sï[2x]èhas constant
  69.         coeffiecients ç 4, -15 å -4.
  70.  
  71.     2)    y»» +èsï[x]y»è-è7xyè=è0èdoes not have constant
  72.         coefficients
  73. éS        The GENERAL, LINEAR, SECOND ORDER differential equation
  74.     is ç ê form
  75.  
  76.         P(x)y»»è+è Q(x)y»è+èR(x)yè=èG(x)
  77.  
  78.     If ê functions P, Q å R are all constant functions, 
  79.     this a lïear, second order differential equation with 
  80.     CONSTANT COEFFICIENTS.
  81.  
  82.     If any ç ê function P, Q or R is not a constant function,
  83.     ên this is a lïear, second order differential equation with
  84.     NON-CONSTANT COEFFICIENTS.
  85.  
  86.     Lïear, second order differential equations with constant
  87.     coefficients will be treated ï this Chapter. Higher order,
  88.     lïear differential equations with constant coefficients will
  89.     be covered ï Chapter 5.
  90.  
  91.     Lïear,second order differential equations with non-constant
  92.     coefficients will be covered ï Chapter 4.
  93.  4    y»» - 2y» -è8yè=èx║sï[x]
  94.  
  95.  
  96.     A)    Constant coefficients
  97.     
  98.     B)    Non-constant coefficients
  99.  
  100. ü    The coefficients are respectively 1, -2 å -8, all ç which
  101.     are constant so this differential equation has constant
  102.     coefficients.
  103. Ç    A
  104.  5    y»»è-èxy»è+è5yè=è eì╣
  105.  
  106.  
  107.     A)    Constant coefficients
  108.     
  109.     B)    Non-constant coefficients
  110.  
  111. ü    The coefficient ç y» is x which is not constant so this
  112.     differential equation has non-constant coefficients.
  113.  
  114. Ç    B
  115.  6    15y»»è-èe╣y»è+è7yè=è sï x
  116.  
  117.  
  118.     A)    Constant coefficients
  119.     
  120.     B)    Non-constant coefficients
  121.  
  122. ü    The coefficient ç y» is e╣ which is not constant so this
  123.     differential equation has non-constant coefficients.
  124.  
  125. Ç    B
  126. äèDetermïe if ê followïg lïear, second order 
  127. èèèèèèèdifferential equations are homogenous or non-homogeneous
  128.  
  129. â    1)    xìy»» -    3xy» + 4yè=è0 is homogeneous
  130.  
  131.     2)    y»»è-è3y»è-è10yè=èsï[x] is non-homogeneous
  132.  
  133. éSè    The GENERAL, LINEAR, SECOND ORDER differential equation
  134.     is ç ê form
  135.  
  136.         P(x)y»»è+è Q(x)y»è+èR(x)yè=èG(x)
  137.     
  138.     If G(x) = 0 for all x, this is a HOMOGENEOUS differential
  139.     equation.è
  140.  
  141.     IfèG(x) ƒ 0 for some x, this a NON-HOMOGENEOUS differential 
  142.     equation.
  143.  7    xìy»»è+è(x - 1)y»è=èy sï[x]
  144.  
  145.  
  146.     A)    Homogeneous
  147.  
  148.     B)    Non-homogeneous
  149.  
  150. ü    This differential equation can be rearranged ë
  151.  
  152.         xìy»»è+è(x - 1)y»è-èsï[x] yè=è0
  153.  
  154.     å hence is homogeneous.
  155.  
  156. Ç    A
  157.  8    y»»è-èxìè-è2yè=è0
  158.  
  159.     A)    Homogeneous
  160.  
  161.     B)    Non-homogeneous
  162.  
  163. ü    This can be rearragned ë
  164.  
  165.         y»»è-è2yè=èxì
  166.  
  167.     å hence is non-homogeneous
  168. Ç B
  169. äèèDetermïe which ç ê followïg are solutions ç ê
  170. èèèèèèèègiven ïitial value problems.
  171. â    è    For ê ïitial value problem
  172.  
  173.         y»» - 3y» - 4y = 0è 
  174.         y(0) = 3 ;èy'(0) = 5    
  175.  
  176.         The solution is
  177.             y = -2/5 eúÅ╣è+è17/5 e╣
  178.  
  179. éS        
  180.     For a differential equation ç ê second order, an Initial
  181.     Value Problem consists ç 3 parts
  182.  
  183.     1)    A second order differential equation
  184.  
  185.     2)    Two INITIAL CONDITIONS which specifyè
  186.         a)èa value ç ê solution y at a specific value
  187.         èèç ê ïdependent variable, say y(x╠) = y╠
  188.         b)èa value ç ê derivative ç ê solution, agaï
  189.         èèat a specific value ç ê ïdependent variable,
  190.         èèsayèy»(x╠) = y╠»
  191.  
  192.     If ê ïitial conditions are well posed, êre will be a 
  193.     UNIQUE solution ë this ïitial value problem.èTwo ïitial
  194.     conditions are needed as ê two differentiations needed ë
  195.     ë produce ê second order differential equation will take
  196.     any part ç ê solution which is ç ê form
  197.  
  198.             C¬x + C½
  199.  
  200.     å differentiate it ë zero.èThus two ïtegrations (å hence
  201.     two constants ç ïtegration) are necessary ë fïd ê 
  202.     solutions.èThus two pieces ç ïitial ïformation are needed
  203.     ë specify ê values for êse two constants ç ïtegration.
  204.  9    y»» =è12x ;èy(0) = -2 ;èy»(0) = 3
  205.  
  206.  
  207.     A)    y = 2xÄ + 3x + 2    B)    y = 2xÄ + 3x - 2
  208.  
  209.     C)    y = 2xÄ - 3x + 2    D)    y = 2xÄ - 3x - 2
  210. ü    For    yè = 2xÄ + 3x - 2è    ênèy(0) = -2
  211.  
  212.         y»è= 6xì + 3èèè     ênèy»(0) = 3
  213.  
  214.         y»» = 12x
  215.  
  216.     Thus all three conditions are met å this is ê solution.
  217. Ç B
  218.  10    y»» = sï[x] ;èy(╥) = -╥ ; y»(╥) = -3
  219.  
  220.     A)    y = -sï[x] + 4x + 3╥    B)è y = -sï[x] + 4x - 3╥
  221.  
  222.     C)    y = -sï[x] - 4x + 3╥    D)è y = -sï[x] - 4x - 3╥
  223.  
  224. ü    For    y = -sï[x] - 4x + 3╥    ên y(╥) = -╥
  225.  
  226.         y» = -cos[x] - 4    ên y»(╥) = 1 - 4 = -3
  227.  
  228.         y»» = sï[x]
  229.  
  230.     Thus all three conditions are met å this is ê solution
  231.     ë this ïitial value problem.
  232.  
  233. Ç    C
  234.  
  235.  11    y»» -èy»è-è2yè=è0 ;èy(0) = 3 ;èy»(0) = 0
  236.  
  237.  
  238.     A)    y = eú╣ + 2eì╣        B)    y = 2eú╣ + eì╣
  239.  
  240.     C)    y = eú╣ - 2eì╣        D)    y = -eú╣ + 2eì╣
  241.  
  242. ü    Forè    yè = 2eú╣ + eì╣èên y(0) = 2 + 1 = 3
  243.  
  244.         y»è= -2eú╣ + 2eì╣èên y»(0) = -2 + 2 = 0
  245.  
  246.         y»» = 2eú╣ + 4eì╣
  247.  
  248.         y»» - y» - 2y = 2eú╣ + 4eì╣ + 2eú╣ - 2eì╣ - 4eú╣ - 2eì╣
  249.             è
  250.             èèè= (2 + 2 - 4)eú╣ + (4 - 2 -2)eì╣
  251.  
  252.             èèè= 0
  253.  
  254.         Thus all three conditions are met å this is ê
  255.         solution ë ê ïitial value problem.
  256.  
  257. Ç    B
  258.  
  259. äèèFor ê followïg differential equations, give ê    
  260. èèèèèèèèsolutions ç ê characteristic equation.
  261.  
  262. â    For ê differential equation
  263.         y»» -è6y»'è+è8yè=è0
  264.     The characteristic equation is
  265.         mì - 6m + 8 = 0
  266.     This facërs ëè(m - 2)(m - 4) = 0 å so ê solutions
  267.     areèm = 2, 4.
  268.  
  269. éS    A lïear, constant coefficient, homogeneous differential 
  270.     equation 
  271.             ay»» + by» + cy = 0
  272.  
  273.     can be solved by assumïg a solution ç ê form
  274.  
  275.             y = e¡╣
  276.  
  277.     where m is a constant ë be determïed.èSubstitutïg this 
  278.     possible solution ïë ê differential equation produces
  279.  
  280.             am║e¡╣ + bme¡╣ + ce¡╣ = 0
  281.  
  282.     or        (am║ + bm + c)e¡╣ = 0
  283.  
  284.     As ê range ç ê exponential function is always non-zero,
  285.     this equation can have a solution only if
  286.  
  287.             am║ + bm + c = 0
  288.  
  289.     This is known as ê CHARACTERTISTIC EQUATION            .
  290.  
  291.     As ê characteristic equation is a QUADRATIC EQUATION with
  292.     REAL coefficients, êre 3 possible types ç solution.èThese 
  293.     can be categorized by ê DISCRIMINANT ç ê QUADRATIC
  294.     FORMULA
  295.         èè -b ± √(bì - 4ac)
  296.         m = ──────────────────
  297.         èèèèèè2a 
  298.  
  299.     The DISCRIMINANT is ê radicå under ê square root i.e.
  300.     ê discrimïant isèbì - 4ac.
  301.  
  302.     1)     If bì - 4ac > 0, êre are 2 REAL, DISTINCT ROOTS
  303.  
  304.     2)    If bì - 4ac = 0, êre are 2 REAL, REPEATED ROOTS
  305.  
  306.     3)    If bì - 4ac < 0, êre are 2 COMPLEX ROOTS which are
  307.         COMPLEX CONJUGATES
  308.  
  309.  12    y»» + 5y» - 6y = 0
  310.  
  311.  
  312.     A)    m = 2, 3        B)    m = -2, -3
  313.  
  314.     C)    m = 1, -6        D)    m = -1, 6
  315.  
  316. ü    The characteristic equation is
  317.  
  318.         mì + 5m - 6 = 0
  319.  
  320.     This facërs ïë
  321.  
  322.         (m - 1)(m + 6) = 0
  323.  
  324.     So its solutions are
  325.  
  326.         m = 1, -6
  327.  
  328. Ç    C
  329.  
  330.  13    2y»» - 11y» + 12y = 0
  331.  
  332.  
  333.     A)    m = 3/2, 4        B)    m = 3/2, -4
  334.  
  335.     C)    m = -3/2, 4        D)    m = -3/2, -4
  336.  
  337. ü    The characteristic equation is
  338.  
  339.         2mì - 11m + 12 = 0
  340.  
  341.     This facërs ïë
  342.  
  343.         (2m - 3)(m - 4) = 0
  344.  
  345.     So its solutions are
  346.  
  347.         m = 3/2, 4
  348.  
  349. Ç A
  350.  
  351.  14    y»» + 6y» + 9y = 0
  352.  
  353.  
  354.     A)    m = 1, 9        B)    m = -1, -9
  355.  
  356.     C)    m = 3, 3        D)    m = -3, -3
  357.  
  358. ü    The characteristic equation is
  359.  
  360.         mì + 6m + 9 = 0
  361.  
  362.     This facërs ïë
  363.  
  364.         (m + 3)(m + 3) = (m + 3)ì = 0
  365.  
  366.     So its solutions are repeated roots
  367.  
  368.         m = -3, -3
  369.  
  370. Ç    D
  371.  
  372.  15    4y»» -12y» + 9y = 0
  373.  
  374.  
  375.     A)    m = 2/3, 2/3        B)    m = -2/3, -2/3
  376.  
  377.     C)    m = 3/2, 3/2        D)è    m = -3/2, -3/2
  378.  
  379. ü    The characteristic equation is
  380.  
  381.         4mì -12m + 9 = 0
  382.  
  383.     This facërs ïë
  384.  
  385.         (2m - 3)(2m - 3) = (2m - 3)ì = 0
  386.  
  387.     So its solutions are repeated roots
  388.  
  389.         m = 3/2, 3/2
  390.  
  391. Ç C
  392.  
  393.  16    y»» + 9y = 0
  394.  
  395.  
  396.     A)    m = 2/3, 2/3        B)    m = -2/3, -2/3
  397.  
  398.     C)    m = 3/2, 3/2        D)è    m = ±3i
  399.  
  400. ü    The characteristic equation is
  401.  
  402.         mì + 9 = 0
  403.  
  404.     This does NOT facër ïë real roots so ê quadratic formula
  405.     is used
  406.         èè -0 ± √[0ì - 4(1)(9)]
  407.         m = ──────────────────────
  408.             èèè2(1)
  409.         è=è±√(-36) / 2
  410.         è
  411.         è=è±6i / 2
  412.  
  413.         è=è±3ièA pair ç complex conjugates
  414.  
  415. Ç    D
  416.  
  417.  17    y»» + 2y» + 2 = 0
  418.  
  419.     A)    m = 1, 2        B)    m = -1, -2
  420.  
  421.     C)    m = 1 - i, 1 +èi    D)    m = -1 - i, -1 + i
  422.  
  423. ü    The characteristic equation is
  424.  
  425.         mì + 2m + 2 = 0
  426.  
  427.     This does NOT facër ïë real roots so ê quadratic formula
  428.     is used
  429.         èè -2 ± √[2ì - 4(1)(2)]
  430.         m = ──────────────────────
  431.             èèè2(1)
  432.         è=è[-2 ± √(-4)] / 2
  433.         è
  434.         è=è[-2 ± 2i] / 2
  435.  
  436.         è=è-1 ± ièA pair ç complex conjugates
  437.  
  438. Ç    D
  439.  
  440.  
  441.  
  442.  
  443.  
  444.  
  445.  
  446.